Slaby urodził się w 1849 roku w Berlinie jako syn introligatora. Studiował inżynierię mechaniczną i matematykę pod kierunkiem Reuleaux. Pracował w firmie maszynowej Schwartzkopff. Uzyskał stopień doktora matematyki w Jenie. Wykładał matematykę i mechanikę w szkole zawodowej w Poczdamie. Prowadził eksperymenty nad silnikami parowymi i benzynowymi. Napisał „Teorię silników gazowych”, przyczyniając się do rozwoju silników spalinowych. Studiował u Hertza. W 1876 r. uzyskał habilitację i wykładał silniki elektryczne, telegrafię oraz elektromechanikę. W 1883 r. został profesorem elektrotechniki na stałe. W 1884 r. zbudował laboratorium elektrotechniczne, czyniąc Berlin czołowym ośrodkiem szkoleniowym. W 1897 r. pomagał Marconiemu w próbach bezprzewodowych nad Kanałem La Manche. Powtórzył eksperymenty w Berlinie, rozwijając kluczowe koncepcje. W 1897 r. ustanowił rekord łączności radiowej na odległość 21 km między Schönebergiem a Rangsdorfem. W 1898 r. ustanowił rekord łączności na odległość 60 km między Berlinem a Jüterbogiem, wykorzystując doskonałe anteny indukcyjne. Cesarz i wojsko wspierali jego prace nad łącznością bezprzewodową. AEG Siemens utworzył firmę Telefunken w 1903 r. po tym, jak Marconi zablokował jego sygnały. Slaby przewodniczył najpierw VDE, a następnie Verein Deutscher Ingenieure. Wypowiadał wykłady techniczne dla cesarza w pałacu. Wywalczył inżynierom status równy z uniwersytetami. W 1898 r. został dożywotnim członkiem pruskiego Herrenhausu. W 1906 r. przeszedł na emeryturę, a jego następcą został Orlich. Przewodniczył Akademischer Verein Hütte do 1912 r. Zmarł w 1913 r., uhonorowany tablicą pamiątkową, znaczkiem pocztowym i nazwami ulic.